【УМК «Чжэнь»】Математика, 8 класс, часть 2: Исследование закономерностей — правила умножения и деления квадратных корней

Правила умножения и деления квадратных корней основаны на смысле арифметического квадратного корня и свойствах действий с действительными числами. На этом уроке, обобщая результаты вычислений конкретных чисел, мы поможем вам открыть общие закономерности:Произведение (или частное) арифметических квадратных корней из двух неотрицательных чисел равно арифметическому квадратному корню из произведения (или частного) этих чисел, и этот закон является двусторонне обратимым.

Овладение этим правилом необходимо не только для выполнения базовых алгебраических вычислений, но и для глубокого понимания строгих логических ограничений: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель — отличным от нуля. Это также создаст основу для будущей работы со сложными и разнообразными многочленными выражениями.

1. Исследование правила умножения и его прямое и обратное применение

Как показано на рисунке справа, проверка на конкретных значениях позволяет установить очень красивый алгебраический закон. Вы можете воспользоваться [Визуальный элемент: таблица (страница 6)] Таблица проверки вычислений для исследования свойств умножения корней для сравнения, чтобы лучше понять материал.

В общем случае правило умножения квадратных корней: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} (a \ge 0, b \ge 0)$.

Прямое применение формулы используется для объединения выражений под корнем. Давайте посмотрим, как это работает:

Прямое объединение при умножении

Пример 1. Вычислите: (1) $\sqrt{3} \times \sqrt{5}$; (2) $\sqrt{\frac{1}{3}} \times \sqrt{27}$

Решение:

(1) $\sqrt{3} \times \sqrt{5} = \sqrt{3 \times 5} = \sqrt{15}$

(2) $\sqrt{\frac{1}{3}} \times \sqrt{27} = \sqrt{\frac{1}{3} \times 27} = \sqrt{9} = 3$

Обратное разложение при умножении

Аналогично, обратное равенство $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} (a \ge 0, b \ge 0)$ является идеальным инструментом для разложения больших чисел или сложных алгебраических выражений.

Пример 2. Упростите: (1) $\sqrt{16 \times 81}$; (2) $\sqrt{4a^2b^3}$

Решение:

(1) $\sqrt{16 \times 81} = \sqrt{16} \times \sqrt{81} = 4 \times 9 = 36$

(2) Поскольку $a^2 \ge 0$ и $b^3 \ge 0$, то $b \ge 0$. $\sqrt{4a^2b^3} = \sqrt{4 \cdot a^2 \cdot b^2 \cdot b} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b^2} \cdot \sqrt{b} = 2ab\sqrt{b}$

2. Умножение сложных выражений с коэффициентами

在处理带有系数或多变量的复杂根式乘法时，需遵循“有理系数乘有理系数，无理部分乘无理部分”的分配原则，这是实数乘法交换律与结合律在根式领域的直接体现。

Операции по разделению коэффициентов и подкоренных выражений

Пример 3. Вычислите: (1) $\sqrt{14} \times \sqrt{7}$; (2) $3\sqrt{5} \times 2\sqrt{10}$; (3) $\sqrt{3x} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}xy}$

Решение:

(1) $\sqrt{14} \times \sqrt{7} = \sqrt{14 \times 7} = \sqrt{2 \times 7^2} = 7\sqrt{2}$

(2) $3\sqrt{5} \times 2\sqrt{10} = (3 \times 2) \times (\sqrt{5 \times 10}) = 6\sqrt{50} = 6 \times 5\sqrt{2} = 30\sqrt{2}$

(3) $\sqrt{3x} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}xy} = \sqrt{3x \cdot \frac{1}{3}xy} = \sqrt{x^2y} = x\sqrt{y} \quad (x \ge 0, y \ge 0)$

3. Правило деления и логические границы

Умножение и деление — это две стороны одной математической операции. Как показано на [Визуальный элемент: таблица (страница 8)] Таблица проверки вычислений для исследования свойств деления корней все показывает, что закономерность сохраняется.

В общем случае правило деления квадратных корней: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} (a \ge 0, b > 0)$, а обратное равенство: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} (a \ge 0, b > 0)$. Здесь необходимо подчеркнуть строгие логические ограничения: знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $b > 0$!

Гибкое применение правила деления

Пример 4. Вычислите: (1) $\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}}$; (2) $\sqrt{\frac{3}{2}} \div \sqrt{\frac{1}{18}}$

Решение:

(1) $\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{24}{3}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

(2) $\sqrt{\frac{3}{2}} \div \sqrt{\frac{1}{18}} = \sqrt{\frac{3}{2} \div \frac{1}{18}} = \sqrt{\frac{3}{2} \times 18} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$

🎯 Основные правила

Независимо от того, объединяем ли мы при умножении, раскладываем при обратном преобразовании или упрощаем при делении, цель — упростить выражение или избавиться от корня в знаменателе. Запомните следующие ключевые формулы:

1. $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} (a \ge 0, b \ge 0)$
2. $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} (a \ge 0, b \ge 0)$
3. $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} (a \ge 0, b > 0)$
4. $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} (a \ge 0, b > 0)$

ВОПРОС 1

Каково значение выражения $\sqrt{2} \times \sqrt{18}$?

$36$

$6$

$\sqrt{20}$

$6\sqrt{2}$

ВОПРОС 2

Какое из следующих выражений является наиболее правильным упрощением $\sqrt{48}$ с использованием обратного разложения?

$2\sqrt{12}$

$16\sqrt{3}$

$4\sqrt{3}$

$8\sqrt{6}$

ВОПРОС 3

Каковы допустимые значения переменных $a$ и $b$ в формуле $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$?

$a \ge 0, b \ge 0$

$a > 0, b > 0$

$a \ge 0, b > 0$

$a > 0, b \ge 0$

ВОПРОС 4

Каково значение выражения $2\sqrt{3} \times 4\sqrt{5}$?

$8\sqrt{15}$

$6\sqrt{15}$

$8\sqrt{8}$

$15\sqrt{8}$

ВОПРОС 5

Каково значение выражения $\frac{\sqrt{54}}{\sqrt{2}}$?

$9\sqrt{3}$

$3\sqrt{3}$

$27$

$\sqrt{56}$

Вызов: Исследование формул и их глубокое применение

Основная тестовая библиотека по теме «Правила умножения и деления квадратных корней»

В геометрии и реальных физических расчетах умение уверенно применять правила умножения и деления квадратных корней позволяет избежать большого количества сложных операций извлечения квадратных корней из десятичных дробей, гарантируя абсолютную точность результата. Далее мы проверим ваше владение этими формулами, их прямым и обратным применением, а также понимание логических ограничений, используя пошаговые упражнения.

Исследование 1

[Заполните пропуски] Вычислите следующие выражения, наблюдайте за результатами, какие закономерности вы можете найти?
(1) $\sqrt{4} \times \sqrt{9} = \underline{\quad}, \sqrt{4 \times 9} = \underline{\quad}$;
(2) $\sqrt{16} \times \sqrt{25} = \underline{\quad}, \sqrt{16 \times 25} = \underline{\quad}$;
(3) $\sqrt{25} \times \sqrt{36} = \underline{\quad}, \sqrt{25 \times 36} = \underline{\quad}$

Подробное решение и образец ответа:
(1) Отдельно извлекаем корни: $\sqrt{4} \times \sqrt{9} = 2 \times 3 = \mathbf{6}$; сначала перемножаем, потом извлекаем корень: $\sqrt{4 \times 9} = \sqrt{36} = \mathbf{6}$.
(2) Отдельно извлекаем корни: $\sqrt{16} \times \sqrt{25} = 4 \times 5 = \mathbf{20}$; сначала перемножаем, потом извлекаем корень: $\sqrt{16 \times 25} = \sqrt{400} = \mathbf{20}$.
(3) Отдельно извлекаем корни: $\sqrt{25} \times \sqrt{36} = 5 \times 6 = \mathbf{30}$; сначала перемножаем, потом извлекаем корень: $\sqrt{25 \times 36} = \sqrt{900} = \mathbf{30}$.
Обнаруженная закономерность:В общем случае правило умножения квадратных корней: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} (a \ge 0, b \ge 0)$.

Упражнение 2

[Краткий ответ] Упражнение: 1. Вычислите: (1) $\sqrt{2} \times \sqrt{5}$; (2) $\sqrt{3} \times \sqrt{12}$; (3) $2\sqrt{6} \times \sqrt{\frac{1}{2}}$; (4) $\sqrt{288} \times \sqrt{\frac{1}{72}}$

Подробное решение и образец ответа:
(1) Исходное выражение = $\sqrt{2 \times 5} = \mathbf{\sqrt{10}}$.
(2) Исходное выражение = $\sqrt{3 \times 12} = \sqrt{36} = \mathbf{6}$.
(3) Исходное выражение = $2 \times \sqrt{6 \times \frac{1}{2}} = 2\sqrt{3}$. Итак, результат — $\mathbf{2\sqrt{3}}$.
(4) Исходное выражение = $\sqrt{288 \times \frac{1}{72}} = \sqrt{4} = \mathbf{2}$.

Исследование 3

[Заполните пропуски] Исследование: Вычислите следующие выражения, наблюдайте за результатами, какие закономерности вы можете найти?
(1) $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \underline{\quad}, \sqrt{\frac{4}{9}} = \underline{\quad}$;
(2) $\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \underline{\quad}, \sqrt{\frac{16}{25}} = \underline{\quad}$;
(3) $\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{49}} = \underline{\quad}, \sqrt{\frac{36}{49}} = \underline{\quad}$

Подробное решение и образец ответа:
(1) Отдельно извлекаем корни: $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \mathbf{\frac{2}{3}}$; извлекаем корень из всей дроби: $\sqrt{\frac{4}{9}} = \mathbf{\frac{2}{3}}$.
(2) Отдельно извлекаем корни: $\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \mathbf{\frac{4}{5}}$; извлекаем корень из всей дроби: $\sqrt{\frac{16}{25}} = \mathbf{\frac{4}{5}}$.
(3) Отдельно извлекаем корни: $\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{49}} = \mathbf{\frac{6}{7}}$; извлекаем корень из всей дроби: $\sqrt{\frac{36}{49}} = \mathbf{\frac{6}{7}}$.
Обнаруженная закономерность:В общем случае правило деления квадратных корней: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} (a \ge 0, b > 0)$.

Сложное 4

[Краткий ответ] Упражнение 16.2, повторение и закрепление 1. Вычислите: (1) $\sqrt{24} \times \sqrt{27}$; (2) $\sqrt{6} \times (-\sqrt{15})$; (3) $\sqrt{18} \times \sqrt{20} \times \sqrt{75}$; (4) $\sqrt{3^2 \times 4^3 \times 5}$

Подробное решение и образец ответа:
(1) Метод разложения: $\sqrt{24} \times \sqrt{27} = \sqrt{4 \times 6} \times \sqrt{9 \times 3} = 2\sqrt{6} \times 3\sqrt{3} = 6\sqrt{18} = 6 \times 3\sqrt{2} = \mathbf{18\sqrt{2}}$.
(2) Умножение с учетом знака: исходное выражение = $- (\sqrt{6 \times 15}) = -\sqrt{90} = -\sqrt{9 \times 10} = \mathbf{-3\sqrt{10}}$.
(3) Объединение нескольких множителей: исходное выражение = $\sqrt{18 \times 20 \times 75} = \sqrt{2 \times 3^2 \times 2^2 \times 5 \times 3 \times 5^2}$, перегруппировка дает $\sqrt{27000} = \sqrt{900 \times 30} = \mathbf{30\sqrt{30}}$.
(4) Метод извлечения степеней: исходное выражение = $\sqrt{3^2 \times (2^2)^3 \times 5} = \sqrt{3^2 \times 2^6 \times 5} = 3 \times 2^3 \times \sqrt{5} = 3 \times 8 \times \sqrt{5} = \mathbf{24\sqrt{5}}$.

Применение 5

[Краткий ответ] [Изображение: два концентрических круга] Как показано на рисунке, центры двух кругов совпадают, их площади составляют $12.56$ и $25.12$. Найдите ширину кольца $d$ ($\pi$ принимается равным $3.14$, результат округлите до двух знаков после запятой).

Подробное решение и образец ответа:
Известны площадь внутреннего круга $S_1 = 12.56$ и площадь внешнего круга $S_2 = 25.12$. Формула площади круга: $S = \pi r^2$. Применение обратной формулы деления значительно упрощает вычисления.
1. Радиус внутреннего круга: $r_1 = \sqrt{\frac{S_1}{\pi}} = \sqrt{\frac{12.56}{3.14}} = \sqrt{4} = \mathbf{2}$.
2. Радиус внешнего круга: $r_2 = \sqrt{\frac{S_2}{\pi}} = \sqrt{\frac{25.12}{3.14}} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$.
3. Вычисление ширины: ширина кольца $d = r_2 - r_1 = 2\sqrt{2} - 2$.
Поскольку $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $d \approx 2 \times 1.414 - 2 = 2.828 - 2 = 0.828$.
Округленный результат — $\mathbf{0.83}$.
Вывод:Ширина кольца $d$ составляет примерно $\mathbf{0.83}$.